繪制極坐標(biāo)阿基米德螺線方程曲線的方法

Excel中的雷達(dá)圖與解析幾何中的極坐標(biāo)既相似又相異。

主要的相似處就是：它們都是從一個(gè)中心點(diǎn)沿著射線方向出發(fā)，使用離開中心的徑向距離，作為定位參數(shù)中的一個(gè)指標(biāo)。

主要的相異處(另一相異處將在后面單獨(dú)列出)就是：

極坐標(biāo)是以向右方向(正東，方位角90°)為起始位置，以逆時(shí)針方向角度為正值，且往往以弧度計(jì)值，從而作為定位參數(shù)的另一個(gè)指標(biāo)。極坐標(biāo)的極角是任意角，可正可負(fù)，可大于一個(gè)圓周角、多個(gè)圓周角乃至于N個(gè)圓周角周而復(fù)始地旋轉(zhuǎn);

而雷達(dá)圖沒有角的概念，它是以參與作圖的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)來平分中心角，各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)按相同的角增量，再按上述第一個(gè)徑向距離定位。如果使雷達(dá)圖模擬一個(gè)圓周角，就要設(shè)置360個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。不必多于360，因?yàn)榧词乖O(shè)置720、1080個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，它也是將一個(gè)周角等分成720份、1080份來處理。

基于上述分析，可以用Excel雷達(dá)圖模擬極坐標(biāo)來繪制一些極坐標(biāo)方程的曲線，因?yàn)椴恍枰獙O坐標(biāo)方程各點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)后，再在直角坐標(biāo)系繪制散點(diǎn)圖，可以在雷達(dá)圖直接繪制。不過要注意幾點(diǎn)：數(shù)據(jù)點(diǎn)最好取360個(gè)(0～259);每個(gè)角度要化成弧度：1°≈0.017(弧度)

對于三角函數(shù)，如是以2π為周期的，在極坐標(biāo)方程中表現(xiàn)為閉合0～2π之間的心臟線，如周期有所變化的，在0～2π之間的表現(xiàn)周而復(fù)始的多葉線;對于發(fā)散性的螺線，就要注意起始和終結(jié)處的處理。

先作準(zhǔn)備工作：在M2單元格設(shè)定1°的角對應(yīng)的弧度，對M2使用絕對引用。

A列從A3開始為X在[0,359]上取值，從0開始，到359，數(shù)據(jù)間隔為1;

B列從B3開始是公式，將角度換算成弧度：在B3中鍵入=A3*$M$2，對M2單元格中1°的角對應(yīng)的弧度數(shù)的值使用絕對引用，對A3單元格的角度的值使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的B362：

先以三角函數(shù)的心臟線為例。

ρ=sinθ

在C3中鍵入=SIN(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的C362。

只需選取C3：C362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下圖。這也是條封閉的曲線，與極坐標(biāo)系做的同一曲線圖差了90°這是起始位置相異所致。另外在圖中也可以看到雷達(dá)圖對于負(fù)值的處理：

ρ=cosθ

在D3中鍵入=COS(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的D362。

只需選取D3：D362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下圖。這也是條封閉的曲線，與極坐標(biāo)系做的同一曲線圖差了90°這是起始位置相異所致。另外在圖中也可以看到雷達(dá)圖對于負(fù)值的處理：

ρ=10(1-sinθ)

在E3中鍵入=10-10*SIN(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的E362。

只需選取E3：E362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下圖。由于表達(dá)式計(jì)算時(shí)已無負(fù)值，坐標(biāo)軸的最大最小值的處理已按數(shù)據(jù)點(diǎn)的極值自動調(diào)整：

ρ=10(1+cosθ)

在F3中鍵入=10+10*COS(B3)，對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的F362。

只需選取F3：F362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下圖。由于表達(dá)式計(jì)算時(shí)無負(fù)值，坐標(biāo)軸的最大最小值的處理已按數(shù)據(jù)點(diǎn)的極值自動調(diào)整：

當(dāng)周期改變?yōu)?π/n時(shí)，正弦或余弦函數(shù)在0～2π之間，可以出現(xiàn)n次周而復(fù)始的現(xiàn)象，其在極坐標(biāo)中的圖象就會呈現(xiàn)所謂的多葉線，下面以三葉線和五葉線為例

ρ=10sin3θ 三葉線

在G3中鍵入=$K$2*SIN(B3*3)，$K$2對K2單元格中預(yù)先設(shè)置的數(shù)值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的G362。

只需選取G3：G362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下面的三葉線圖：

ρ=10sin5θ 五葉線

在H3中鍵入=$K$2*SIN(B3*5)，$K$2對K2單元格中預(yù)先設(shè)置的數(shù)值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。然后向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的H362。

只需選取H3：H362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下面的五葉線圖：

極坐標(biāo)方程中最與眾不同的就是極角的弧度與實(shí)數(shù)相乘而得的阿基米德螺線一類螺線。

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(前287-前212)不只對物理做出了貢獻(xiàn)，他的幾何學(xué)研究也稱得上是希臘數(shù)學(xué)的巔峰。他不光研究圓、橢圓、拋物線、旋轉(zhuǎn)拋物體，還提出了一種特殊的螺旋線，這種螺旋線由兩種運(yùn)動形成：設(shè)想一個(gè)蟲子站在勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤之上，從圓心沿某個(gè)半徑向外爬行，它的影子會在天花板上繪出一條螺線。這螺線就是阿基米德螺線。

阿基米德螺線又稱“等速螺線”。當(dāng)一點(diǎn)P沿動射線OP用速度v做等速率直線運(yùn)動的同時(shí)，這條射線又以等角速度ω繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”，其極坐標(biāo)表示式是：

ρ=aθ

這里a為實(shí)數(shù)，ρ是點(diǎn)P到極點(diǎn)的距離，θ是用弧度表示的射線與極軸的夾角。

尤其注意的是：角θ是以弧度表示的角。弧度這一概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中介紹過。初接觸弧度制時(shí)，不少學(xué)生是在朦朦朧朧中接受的，知其然不知其所以然：角度蠻好的嘛，為什么要用弧度?弧度、弧度搞得人糊里糊涂。而在這里實(shí)際作圖時(shí)，可以理解弧度作為實(shí)數(shù)可以和實(shí)數(shù)a相乘了，可以作出美麗的曲線了，如果是沿襲角度制，兩者相乘，那其結(jié)果就不倫不類、風(fēng)馬牛不相干了。以上只是 “為知新而溫故”。

而在雷達(dá)圖中可以直接作出阿基米德螺線

ρ=aθ

在I3中鍵入=$K$2* B3，$K$2對K2單元格中預(yù)先設(shè)置的數(shù)值使用相對引用。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。注意：這里使用角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)相乘了，會出現(xiàn)什么結(jié)果呢?向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的I362。

只需選取I3：I362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，就可得下面的阿基米德螺線(等速螺線)圖：

稍稍注意該圖就可以發(fā)現(xiàn)連接首末兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的一條虛線，該虛線格式是我特意設(shè)的，為的是說明前面提示的雷達(dá)圖與極坐標(biāo)的另一個(gè)相異處：在雷達(dá)圖中各相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)默認(rèn)都會有線條連接，在最后一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和第一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間也會自動連線，因此每一個(gè)系列的折線都是一個(gè)閉合圖形。極坐標(biāo)不具有此特性。

在本例中，第一個(gè)數(shù)據(jù)，θ=0，ρ=0;末數(shù)據(jù)θ=2π時(shí)，ρ=10π=62.4。顯然首尾兩點(diǎn)相距甚遠(yuǎn)，但由于雷達(dá)圖的緣故，兩點(diǎn)直接連上了。我為了說明這個(gè)問題，將其設(shè)置為紅色虛線。

本例之前的例子都是使用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，由于周期函數(shù)的緣故，數(shù)據(jù)都會周而復(fù)始，首尾數(shù)據(jù)相同，數(shù)據(jù)點(diǎn)自動重合，曲線也會很自然地首尾相接，這種圖形的閉合很自然。但是當(dāng)遇到類似于等速螺線、對數(shù)螺線之類逐漸發(fā)散展開的螺線，第一個(gè)數(shù)據(jù)與最后一個(gè)數(shù)據(jù)不相同時(shí)，雷達(dá)圖也會強(qiáng)制性地將其連接，強(qiáng)迫圖形閉合，這種閉合圖形就極不自然。

以極坐標(biāo)系中阿基米德螺線為例與之相比，除了初相以及旋轉(zhuǎn)方向不同之外，兩者主要差異也就在這首尾相接的線條上。請看在極坐標(biāo)系中阿基米德螺線ρ=10 θ的曲線圖：

其實(shí)只要單獨(dú)選中這一段數(shù)據(jù)線，對這一連線單獨(dú)設(shè)置格式，使其顏色為無色即可，使原本存在的線條淡出視線。如下圖所示：

類似的，還可以處理對數(shù)螺線：

ρ=αe^(kφ)極坐標(biāo)方程曲線α=10,e=2.71828,k=0.218

在J3中鍵入 =10*(2.71828^(0.218*B3))。對B3單元格中已換算好的θ取值的弧度數(shù)使用相對引用。注意：這里使用角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)相乘之后再作為自然對數(shù)e的指數(shù)，向下拖曳復(fù)制到與A列相對應(yīng)的J362。

只需選取J3：J362，選作雷達(dá)圖即可。刪去圖例、數(shù)據(jù)標(biāo)志等，再單獨(dú)選中連接首尾數(shù)據(jù)點(diǎn)的一段數(shù)據(jù)線，將其顏色為無色即可(仔細(xì)看可以看到兩點(diǎn)在作圖時(shí)出現(xiàn)的連線，我以線條顏色透明度較大來處理，淡化視覺感受，從而忽略它的存在)，就可得下面的對數(shù)螺線圖：